九章算術

作者:不详

九章算術》是現存最早的中國古代數學著作之一,是《算經十書》中最重要的一種。其作者已不可考。一般認為它是經歷代各家的增補修訂,而逐漸成為現今定本的。

劉徽九章算術注 原序


  昔在包犧氏始畫八卦,以通神明之德,以類萬物之情,作九九之術以合六爻之變。暨於黃帝神而化之,引而伸之,於是建曆紀,協律呂,用稽道原,然後兩儀四象精微之氣可得而效焉。記稱隸首作數,其詳未之聞也。按周公制禮而有九數,九數之流,則九章是矣。

  往者暴秦焚書,經術散壞。自時厥後,漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘,各稱刪補。故校其目則與古或異,而所論者多近語也。

   徽幼習九章,長再詳覽。觀陰陽之割裂,總算術之根源,探賾之暇,遂悟其意。是以敢竭頑魯,采其所見,為之作注。事類相推,各有攸歸,故枝條雖分而同本榦 者,知發其一端而已。又所析理以辭,解體用圖,庶亦約而能周,通而不黷,覽之者思過半矣。且算在六藝,古者以賓興賢能,教習國子。雖曰九數,其能窮纖入 微,探測無方。至於以法相傳,亦猶規矩度量可得而共,非特難為也。當今好之者寡,故世雖多通才達學,而未必能綜於此耳。

   周官大司徒職,夏至日中立八尺之表,其景尺有五寸,謂之地中。說雲,南戴日下萬五千里。夫雲爾者,以術推之。按九章立四表望遠及因木望山之術,皆端旁互 見,無有超邈若斯之類。然則蒼等為術猶未足以博盡群數也。徽尋九數有重差之名,原其指趣乃所以施於此也。凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差,句股則必 以重差為率,故曰重差也。立兩表於洛陽之城,令高八尺。南北各盡平地,同日度其正中之景。以景差為法,表高乘表間為實,實如法而一,所得加表高,即日去地 也。以南表之景乘表間為實,實如法而一,即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為句、股,為之求弦,即日去人也。以徑寸之筩南望日,日滿筩空,則定 筩之長短以為股率,以筩徑為句率,日去人之數為大股,大股之句即日徑也。雖天圓穹之象猶曰可度,又況泰山之高與江海之廣哉。徽以為今之史籍且略舉天地之 物,考論厥數,載之於志,以闡世術之美。輒造重差,並為註解,以究古人之意,綴於句股之下。度高者重表,測深者累矩,孤離者三望,離而又旁求者四望。觸類 而長之,則雖幽遐詭伏,靡所不入。博物君子,詳而覽焉。  

九章算術 卷第一 方田

〔一〕今有田廣十五步,從十六步。問為田幾何?

答曰:一畝。

〔二〕又有田廣十二步,從十四步。問為田幾何?

答曰:一百六十八步。
方田術曰:廣從步數相乘得積步。以畝法二百四十步除之,即畝數。百畝為一頃。

〔三〕今有田廣一里,從一里。問為田幾何?

答曰:三頃七十五畝。

〔四〕又有田廣二里,從三里。問為田幾何?

答曰:二十二頃五十畝。
里田術曰:廣從里數相乘得積里。以三百七十五乘之,即畝數。

〔五〕今有十八分之十二。問約之得幾何?

答曰:三分之二。

〔六〕又有九十一分之四十九。問約之得幾何?

答曰:十三分之七。
約分術曰:可半者半之,不可半者,副置分母子之數,以少減多,更相減損,求其等也。以等數約之。

〔七〕今有三分之一,五分之二。問合之得幾何?

答曰:十五分之十一。

〔八〕又有三分之二,七分之四,九分之五。問合之得幾何?

答曰:得一、六十三分之五十。

〔九〕又有二分之一,三分之二,四分之三,五分之四。問合之得幾何?

答曰:得二、六十分之四十三。
合分術曰:母互乘子,並以為實,母相乘為法,實如法而一。不滿法者,以法命之。其母同者,直相從之。[1]

〔一0〕今有九分之八,減其五分之一。問餘幾何?

答曰:四十五分之三十一。

〔一一〕又有四分之三,減其三分之一。問餘幾何?

答曰:十二分之五。
減分術曰:母互乘子,以少減多,餘為實,母相乘為法,實如法而一。

〔一二〕今有八分之五,二十五分之十六。問孰多?多幾何?

答曰:二十五分之十六多,多二百分之三。

〔一三〕又有九分之八,七分之六。問孰多?多幾何?

答曰:九分之八多,多六十三分之二。

〔一四〕又有二十一分之八,五十分之十七。問孰多?多幾何?

答曰:二十一分之八多,多一千五十分之四十三。
課分術曰:母互乘子,以少減多,餘為實,母相乘為法,實如法而一,即相多也。

〔一五〕今有三分之一,三分之二,四分之三。問減多益少,各幾何而平?

答曰:減四分之三者二,三分之二者一,並以益三分之一,而各平於十二分之七。

〔一六〕又有二分之一,三分之二,四分之三。問減多益少,各幾何而平?

答曰:減三分之二者一,四分之三者四,並以益二分之一,而各平於三十六分之二十三。
平分術曰:母互乘子,副並為平實,母相乘為法。以列數乘未並者各自為列實。亦以列數乘法,以平實減列實,餘,約之為所減。並所減以益於少,以法命平實,各得其平。

〔一七〕今有七人,分八錢三分錢之一。問人得幾何?

答曰:人得一錢、二十一分錢之四。

〔一八〕又有三人,三分人之一,分六錢三分錢之一,四分錢之三。問人得幾何?

答曰:人得二錢、八分錢之一。
經分術曰:以人數為法,錢數為實,實如法而一。有分者通之,重有分者同而通之。

〔一九〕今有田廣七分步之四,從五分步之三。問為田幾何?

答曰:三十五分步之十二。

〔二0〕又有田廣九分步之七,從十一分步之九。問為田幾何?

答曰:十一分步之七。

〔二一〕又有田廣五分步之四,從九分步之五,問為田幾何?

答曰:九分步之四。
乘分術曰:母相乘為法,子相乘為實,實如法而一。

〔二二〕今有田廣三步、三分步之一,從五步、五分步之二。問為田幾何?

答曰:十八步。

〔二三〕又有田廣七步、四分步之三,從十五步、九分步之五。問為田幾何?

答曰:一百二十步、九分步之五。

〔二四〕又有田廣十八步、七分步之五,從二十三步、十一分步之六。問為田幾何?

答曰:一畝二百步、十一分步之七。
大廣田術曰:分母各乘其全,分子從之,相乘為實。分母相乘為法。實如法而一。

〔二五〕今有圭田廣十二步,正從二十一步。問為田幾何?

答曰:一百二十六步。

〔二六〕又有圭田廣五步、二分步之一,從八步、三分步之二。問為田幾何?

答曰:二十三步、六分步之五。
術曰:半廣以乘正從。

〔二七〕今有邪田,一頭廣三十步,一頭廣四十二步,正從六十四步。問為田幾何?

答曰:九畝一百四十四步。

〔二八〕又有邪田,正廣六十五步,一畔從一百步,一畔從七十二步。問為田幾何?

答曰:二十三畝七十步。
術曰:並兩邪而半之,以乘正從若廣。又可半正從若廣,以乘並,畝法而一。

〔二九〕今有箕田,舌廣二十步,踵廣五步,正從三十步。問為田幾何?

答曰:一畝一百三十五步。

〔三0〕又有箕田,舌廣一百一十七步,踵廣五十步,正從一百三十五步。問為田幾何?

答曰:四十六畝二百三十二步半。
術曰:並踵舌而半之,以乘正從。畝法而一。

〔三一〕今有圓田,周三十步,徑十步。問為田幾何?

答曰:七十五步。

〔三二〕又有圓田,周一百八十一步,徑六十步、三分步之一。問為田幾何?

答曰:十一畝九十步、十二分步之一。
術曰:半周半徑相乘得積步。
術曰:周徑相乘,四而一。
術曰:徑自相乘,三之,四而一。
術曰:周自相乘,十二而一。

〔三三〕今有宛田,下周三十步,徑十六步。問為田幾何?

答曰:一百二十步。

〔三四〕又有宛田,下周九十九步,徑五十一步。問為田幾何?

答曰:五畝六十二步、四分步之一。
術曰:以徑乘周,四而一。

〔三五〕今有弧田,弦三十步,矢十五步。問為田幾何?

答曰:一畝九十七步半。

〔三六〕又有弧田,弦七十八步、二分步之一,矢十三步、九分步之七。問為田幾何?

答曰:二畝一百五十五步、八十一分步之五十六。
術曰:以弦乘矢,矢又自乘,並之,二而一。

〔三七〕今有環田,中周九十二步,外周一百二十二步,徑五步。問為田幾何?

答曰:二畝五十五步。

〔三八〕又有環田,中周六十二步、四分步之三,外周一百一十三步、二分步之一,徑十二步、三分步之二。問為田幾何?

答曰:四畝一百五十六步、四分步之一。
術曰:並中外周而半之,以徑乘之為積步。
密率術曰:置中外周步數,分母、子各居其下。母互乘子,通全步,內分子。以中周減外周,餘半之,以益中周。徑亦通分內子,以乘周為實。分母相乘為法,除之為積步,餘積步之分。以畝法除之,即畝數也。

[編輯]九章算術 卷第二 粟米

粟米之法:

粟率五十糲米三十

粺米二十七鑿米二十四

御米二十一小䵂十三半

大䵂五十四糲飯七十五

粺飯五十四鑿飯四十八

御飯四十二菽、答、麻、麥各四十五

稻六十豉六十三

飧九十熟菽一百三半

櫱一百七十五

今有術曰:以所有數乘所求率為實,以所有率為法,實如法而一。

〔一〕今有粟一斗,欲為糲米。問得幾何?

答曰:為糲米六升。
術曰:以粟求糲米,三之,五而一。

〔二〕今有粟二斗一升,欲為粺米。問得幾何?

答曰:為粺米一斗一升、五十分升之十七。
術曰:以粟求粺米,二十七之,五十而一。

〔三〕今有粟四斗五升,欲為鑿米。問得幾何?

答曰:為鑿米二斗一升、五分升之三。
術曰:以粟求鑿米,十二之,二十五而一。

〔四〕今有粟七斗九升,欲為御米。問得幾何?

答曰:為御米三斗三升、五十分升之九。
術曰:以粟求御米,二十一之,五十而一。

〔五〕今有粟一斗,欲為小䵂。問得幾何?

答曰:為小䵂二升、一十分升之七。
術曰:以粟求小䵂,二十七之,百而一。

〔六〕今有粟九斗八升,欲為大䵂。問得幾何?

答曰:為大䵂一十斗五升、二十五分升之二十一。
術曰:以粟求大䵂,二十七之,二十五而一。

〔七〕今有粟二斗三升,欲為糲飯。問得幾何?

答曰:為糲飯三斗四升半。
術曰:以粟求糲飯,三之,二而一。

〔八〕今有粟三斗六升,欲為粺飯。問得幾何?

答曰:為粺飯三斗八升、二十五分升之二十二。
術曰:以粟求粺飯,二十七之,二十五而一。

〔九〕今有粟八斗六升,欲為鑿飯。問得幾何?

答曰:為鑿飯八斗二升、二十五分升之一十四。
術曰:以粟求鑿飯,二十四之,二十五而一。

〔一0〕今有粟九斗八升,欲為御飯。問得幾何?

答曰:為御飯八斗二升、二十五分升之八。
術曰:以粟求御飯,二十一之,二十五而一。

〔一一〕今有粟三斗少半升,欲為菽。問得幾何?

答曰:為菽二斗七升、一十分升之三。

〔一二〕今有粟四斗一升、太半升,欲為答。問得幾何?

答曰:為答三斗七升半。

〔一三〕今有粟五斗、太半升,欲為麻。問得幾何?

答曰:為麻四斗五升、五分升之三。

〔一四〕今有粟一十斗八升、五分升之二,欲為麥。問得幾何?

答曰:為麥九斗七升、二十五分升之一十四。
術曰:以粟求菽、答、麻、麥,皆九之,十而一。

〔一五〕今有粟七斗五升、七分升之四,欲為稻。問得幾何?

答曰:為稻九斗、三十五分升之二十四。
術曰:以粟求稻,六之,五而一。

〔一六〕今有粟七斗八升,欲為豉。問得幾何?

答曰:為豉九斗八升、二十五分升之七。
術曰:以粟求豉,六十三之,五十而一。

〔一七〕今有粟五斗五升,欲為飧。問得幾何?

答曰:為飧九斗九升。
術曰:以粟求飧,九之,五而一。

〔一八〕今有粟四斗,欲為熟菽。問得幾何?

答曰:為熟菽八斗二升、五分升之四。
術曰:以粟求熟菽,二百七之,百而一。

〔一九〕今有粟二斗,欲為櫱。問得幾何?

答曰:為櫱七斗。
術曰:以粟求櫱,七之,二而一。

〔二0〕今有糲米十五斗五升、五分升之二,欲為粟。問得幾何?

答曰:為粟二十五斗九升。
術曰:以糲米求粟,五之,三而一。

〔二一〕今有粺米二斗,欲為粟。問得幾何?

答曰:為粟三斗七升、二十七分升之一。
術曰:以粺米求粟,五十之,二十七而一。

〔二二〕今有鑿米三斗、少半升,欲為粟。問得幾何?

答曰:為粟六斗三升、三十六分升之七。
術曰:以鑿米求粟,二十五之,十三而一。

〔二三〕今有御米十四斗,欲為粟。問得幾何?

答曰:為粟三十三斗三升、少半升。
術曰:以御米求粟,五十之,二十一而一。

〔二四〕今有稻一十二斗六升、一十五分升之一十四,欲為粟。問得幾何?

答曰:為粟一十斗五升、九分升之七。
術曰:以稻求粟,五之,六而一。

〔二五〕今有糲米一十九斗二升、七分升之一,欲為粺米。問得幾何?

答曰:為粺米一十七斗二升、一十四分升之一十三。
術曰:以糲米求粺米,九之,十而一。

〔二六〕今有糲米六斗四升、五分升之三,欲為糲飯。問得幾何?

答曰:為糲飯一十六斗一升半。
術曰:以糲米求糲飯,五之,二而一。

〔二七〕今有糲飯七斗六升、七分升之四,欲為飧。問得幾何?

答曰:為飧九斗一升、三十五分升之三十一。
術曰:以糲飯求飧,六之,五而一。

〔二八〕今有菽一斗,欲為熟菽。問得幾何?

答曰:為熟菽二斗三升。
術曰:以菽求熟菽,二十三之,十而一。

〔二九〕今有菽二斗,欲為豉。問得幾何?

答曰:為豉二斗八升。
術曰:以菽求豉,七之,五而一。

〔三0〕今有麥八斗六升、七分升之三,欲為小䵂,問得幾何?

答曰:為小䵂二斗五升、一十四分升之一十三。
術曰:以麥求小䵂,三之,十而一。

〔三一〕今有麥一斗,欲為大䵂。問得幾何?

答曰:為大䵂一斗二升。
術曰:以麥求大䵂,六之,五而一。

〔三二〕今有出錢一百六十,買瓴甓十八枚。問枚幾何?

答曰:一枚,八錢、九分錢之八。

〔三三〕今有出錢一萬三千五百,買竹二千三百五十箇。問箇幾何?

答曰:一箇,五錢、四十七分錢之三十五。
經率術曰:以所買率為法,所出錢數為實,實如法得一錢。

〔三四〕今有出錢五千七百八十五,買漆一斛六斗七升、太半升。欲斗率之,問斗幾何。

答曰:一斗,三百四十五錢、五百三分錢之一十五。

〔三五〕今有出錢七百二十,買縑一匹二丈一尺。欲丈率之,問丈幾何?

答曰:一丈,一百一十八錢、六十一分錢之二。

〔三六〕今有出錢二千三百七十,買布九匹二丈七尺。欲匹率之,問匹幾何?

答曰:一匹,二百四十四錢、一百二十九分錢之一百二十四。

〔三七〕今有出錢一萬三千六百七十,買絲一石二鈞一十七斤。欲石率之,問石幾何?

答曰:一石,八千三百二十六錢、一百九十七分錢之一百七十八。
經術術曰:以所求率乘錢數為實,以所買率為法,實如法得一。

〔三八〕今有出錢五百七十六,買竹七十八箇。欲其大小率之,問各幾何?

答曰:其四十八箇,箇七錢。其三十箇,箇八錢。

〔三九〕今有出錢一千一百二十,買絲一石二鈞十八斤。欲其貴賤斤率之,問各幾何?

答曰:其二鈞八斤,斤五錢。其一石一十斤,斤六錢。

〔四0〕今有出錢一萬三千九百七十,買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤石率之,問各幾何?

答曰:其一鈞九兩一十二銖,石八千五十一錢。其一石一鈞二十七斤九兩一十七銖,石八千五十二錢。

〔四一〕今有出錢一萬三千九百七十,買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤鈞率之,問各幾何?

答曰:其七斤一十兩九銖,鈞二千一十二錢。其一石二鈞二十斤八兩二十銖,鈞二千一十三錢。

〔四二〕今有出錢一萬三千九百七十,買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤斤率之,問各幾何?

答曰:其一石二鈞七斤十兩四銖,斤六十七錢。其二十斤九兩一銖,斤六十八錢。

〔四三〕今有出錢一萬三千九百七十,買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤兩率之,問各幾何?

答曰:其一石一鈞一十七斤一十四兩一銖,兩四錢。其一鈞一十斤五兩四銖,兩五錢。
其率術曰:各置所買石、鈞、斤、兩以為法,以所率乘錢數為實,實如法而一。不滿法者反以實減法,法賤實貴。

〔四四〕今有出錢一萬三千九百七十,買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤銖率之,問各幾何?

答曰:其一鈞二十斤六兩十一銖,五銖一錢。其一石一鈞七斤一十二兩一十八銖,六銖一錢。

〔四五〕今有出錢六百一十,買羽二千一百翭。欲其貴賤率之,問各幾何?

答曰:其一千一百四十翭,三翭一錢。其九百六十翭,四翭一錢。

〔四六〕今有出錢九百八十,買矢簳五千八百二十枚。欲其貴賤率之,問各幾何?

答曰:其三百枚,五枚一錢。其五千五百二十枚,六枚一錢。
反其率術曰:以錢數為法,所率為實,實如法而一。不滿法者反以實減法,法少,實多。二物各以所得多少之數乘法實,即物數。

[編輯]九章算術 卷第三 衰分

衰分術曰:各置列衰,副並為法,以所分乘未並者各自為實,實如法而一。不滿法者,以法命之。

〔一〕今有大夫、不更、簪裹、上造、公士,凡五人,共獵得五鹿。欲以爵次分之,問各得幾何?

答曰:

大夫得一鹿、三分鹿之二。

不更得一鹿、三分鹿之一。

簪裹得一鹿。

上造得三分鹿之二。

公士得三分鹿之一。

術曰:列置爵數,各自為衰,副並為法。以五鹿乘未並者,各自為實。實如法得一鹿。

〔二〕今有牛、馬、羊食人苗。苗主責之粟五斗。羊主曰:「我羊食半馬。」馬主曰:「我馬食半牛。」今欲衰償之,問各出幾何?

答曰:

牛主出二斗八升、七分升之四。

馬主出一斗四升、七分升之二。

羊主出七升、七分升之一。

術曰:置牛四、馬二、羊一,各自為列衰,副並為法。以五斗乘未並者各自為實。實如法得一斗。

〔三〕今有甲持錢五百六十,乙持錢三百五十,丙持錢一百八十,凡三人俱出關,關稅百錢。欲以錢數多少衰出之,問各幾何?

答曰:

甲出五十一錢、一百九分錢之四十一。

乙出三十二錢、一百九分錢之一十二。

丙出一十六錢、一百九分錢之五十六。

術曰:各置錢數為列衰,副並為法,以百錢乘未並者,各自為實,實如法得一錢。

〔四〕今有女子善織,日自倍,五日織五尺。問日織幾何?

答曰:

初日織一寸、三十一分寸之十九。

次日織三寸、三十一分寸之七。

次日織六寸、三十一分寸之十四。

次日織一尺二寸、三十一分寸之二十八。

次日織二尺五寸、三十一分寸之二十五。

術曰:置一、二、四、八、十六為列衰,副並為法,以五尺乘未並者,各自為實,實如法得一尺。

〔五〕今有北鄉算八千七百五十八,西鄉算七千二百三十六,南鄉算八千三百五十六,凡三鄉,發傜三百七十八人。欲以算數多少衰出之,問各幾何?

答曰:

北鄉遣一百三十五人、一萬二千一百七十五分人之一萬一千六百三十七。

西鄉遣一百一十二人、一萬二千一百七十五分人之四千四。

南鄉遣一百二十九人、一萬二千一百七十五分人之八千七百九。

術曰:各置算數為列衰,副並為法,以所發傜人數乘未並者,各自為實,實如法得一人。

〔六〕今有稟粟,大夫、不更、簪裹、上造、公士,凡五人,一十五斗。今有大夫一人後來,亦當稟五斗。倉無粟,欲以衰出之,問各幾何?

答曰:

大夫出一斗、四分斗之一。

不更出一斗。

簪褭出四分斗之三。

上造出四分斗之二。

公士出四分斗之一。

術曰:各置所稟粟斛斗數,爵次均之,以為列衰,副並而加後來大夫亦五斗,得二十以為法。以五斗乘未並者各自為實。實如法得一斗。

〔七〕今有稟粟五斛,五人分之,欲令三人得三,二人得二。問各幾何?

答曰:

三人,人得一斛一斗五升、十三分升之五。

二人,人得七斗六升、十三分升之十二。

術曰:置三人,人三;二人,人二,為列衰。副並為法。以五斛乘未並者,各自為實。實如法得一斛。
返衰術曰:列置衰而令相乘,動者為不動者衰。

〔八〕今有大夫、不更、簪褭、上造、公士,凡五人,共出百錢。欲令高爵出少,以次漸多,問各幾何?

答曰:

大夫出八錢、一百三十七分錢之一百四。

不更出一十錢、一百三十七分錢之一百三十。

簪褭出一十四錢、一百三十七分錢之八十二。

上造出二十一錢、一百三十七分錢之一百二十三。

公士出四十三錢、一百三十七分錢之一百九。

術曰:置爵數各自為衰,而返衰之,副並為法。以百錢乘未並者各自為實。實如法得一錢。

〔九〕今有甲持粟三升,乙持糲米三升,丙持糲飯三升。欲令合而分之,問各幾何?

答曰:

甲二升、一十分升之七。

乙四升、一十分升之五。

丙一升、一十分升之八。

術曰:以粟率五十、糲米率三十、糲飯率七十五為衰、而返衰之,副並為法。以九升乘未並者各自為實。實如法得一升。

〔一0〕今有絲一斤,價直二百四十。今有錢一千三百二十八,問得絲幾何?

答曰:五斤八兩一十二銖、三分銖之四。
術曰:以一斤價數為法,以一斤乘今有錢數為實,實如法得絲數。

〔一一〕今有絲一斤價直三百四十三。今有絲七兩一十二銖,問得錢幾何?

答曰:一百六十一錢、三十二分錢之二十三。
術曰:以一斤銖數為法,以一斤價數,乘七兩一十二銖為實。實如法得錢數。

〔一二〕今有縑一丈價直一百二十六。今有縑一匹九尺五寸,問得錢幾何?

答曰:六百三十三錢、五分錢之三。
術曰:以一丈寸數為法,以價錢數乘今有縑寸數為實,實如法得錢數。

〔一三〕今有布一匹,價直一百二十三。今有布二丈七尺,問得錢幾何?

答曰:八十四錢、分錢之三。
術曰:以一匹尺數為法,今有布尺數乘價錢為實,實如法得錢數。

〔一四〕今有素一匹一丈,價直六百二十五。今有錢五百,問得素幾何?

答曰:四丈。(有待考證)
術曰:以價直為法,以一匹一丈尺數乘今有錢數為實。實如法得素數。

〔一五〕今有與人絲一十四斤,約得縑一十斤。今與人絲四十五斤八兩,問得縑幾何?

答曰:三十二斤八兩。
術曰:以一十四斤兩數為法,以一十斤乘今有絲兩數為實,實如法得縑數。

〔一六〕今有絲一斤,耗七兩。今有絲二十三斤五兩,問耗幾何?

答曰:一百六十三兩四銖半。
術曰:以一斤展十六兩為法,以七兩乘今有絲兩數為實,實如法得耗數。

〔一七〕今有生絲三十斤,乾之,耗三斤十二兩。今有乾絲一十二斤,問生絲幾何?

答曰:一十三斤一十一兩十銖、七分銖之二。
術曰:置生絲兩數,除耗數,餘,以為法。三十斤乘乾絲兩數為實。實如法得生絲數。

〔一八〕今有田一畝,收粟六升、太半升。今有田一頃二十六畝一百五十九步,問收粟幾何?

答曰:八斛四斗四升、一十二分升之五。
術曰:以畝二百四十步為法,以六升、太半升乘今有田積步為實,實如法得粟數。

〔一九〕今有取保一歲,價錢二千五百。今先取一千二百,問當作日幾何?

答曰:一百六十九日、二十五分日之二十三。
術曰:以價錢為法,以一歲三百五十四日乘先取錢數為實,實如法得日數。

〔二0〕今有貸人千錢,月息三十。今有貸人七百五十錢,九日歸之,問息幾何?

答曰:六錢、四分錢之三。
術曰:以月三十日,乘千錢為法。以息三十乘今所貸錢數,又以九日乘之,為實。實如法得一錢。

[編輯]九章算術 卷第四 少廣

少廣術曰:置全步及分母子,以最下分母遍乘諸分子及全步,各以其母除其子,置之於左。命通分者,又以分母遍乘諸分子,及已通者皆通而同之,並之為法。置所求步數,以全步積分乘之為實。實如法而一,得從步。

〔一〕今有田廣一步半。求田一畝,問從幾何?

答曰:一百六十步。
術曰:下有半,是二分之一。以一為二,半為一,並之得三,為法。置田二百四十步,亦以一為二乘之,為實。實如法得從步。

〔二〕今有田廣一步半、三分步之一。求田一畝,問從幾何?

答曰:一百三十步、一十一分步之一十。
術曰:下有三分,以一為六,半為三,三分之一為二,並之得一十一為法。置田二百四十步,亦以一為六乘之,為實。實如法得從步。

〔三〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一。求田一畝,問從幾何?

答曰:一百一十五步、五分步之一。
術曰:下有四分,以一為一十二,半為六,三分之一為四,四分之一為三,並之得二十五,以為法。置田二百四十步,亦以一為一十二乘之,為實。實如法而一,得從步。

〔四〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一畝,問從幾何?

答曰:一百五步、一百三十七分步之一十五。
術曰:下有五分,以一為六十,半為三十,三分之一為二十,四分之一為一十五,五分之一為一十二,並之得一百三十七,以為法。置田二百四十步,亦以一為六十乘之,為實。實如法得從步。

〔五〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一畝,問從幾何?

答曰:九十七步、四十九分步之四十七。
術曰:下有六分,以一為一百二十,半為六十,三分之一為四十,四分之一為三十,五分之一為二十四,六分之一為二十,並之得二百九十四以為法。置田二百四十步,亦以一為一百二十乘之,為實。實如法得從步。

〔六〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一畝,問從幾何?

答曰:九十二步、一百二十一分步之六十八。
術曰:下有七分,以一為四百二十,半為二百一十,三分之一為一百四十,四分之一為一百五,五分之一為八十四,六分之一為七十,七分之一為六十,並之得一千八十九,以為法。置田二百四十步,亦以一為四百二十乘之,為實。實如法得從步。

〔七〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一畝,問從幾何?

答曰:八十八步、七百六十一分步之二百三十二。
術曰:下有八分,以一為八百四十,半為四百二十,三分之一為二百八十,四分之一為二百一十,五分之一為一百六十八,六分之一為一百四十,七分之一為一百二十,八分之一為一百五,並之得二千二百八十三,以為法。置田二百四十步,亦以一為八百四十乘之,為實。實如法得從步。

〔八〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一畝,問從幾何?

答曰:八十四步、七千一百二十九分步之五千九百六十四。
術曰: 下有九分,以一為二千五百二十,半為一千二百六十,三分之一為八百四十,四分之一為六百三十,五分之一為五百四,六分之一為四百二十,七分之一為三百六 十,八分之一為三百一十五,九分之一為二百八十,並之得七千一百二十九,以為法。置田二百四十步,亦以一為二千五百二十乘之,為實。實如法得從步。

〔九〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一畝,問從幾何?

答曰:八十一步、七千三百八十一分步之六千九百三十九。
術曰: 下有一十分,以一為二千五百二十,半為一千二百六十,三分之一為八百四十,四分之一為六百三十,五分之一為五百四,六分之一為四百二十,七分之一為三百六 十,八分之一為三百一十五,九分之一為二百八十,十分之一為二百五十二,並之得七千三百八十一,以為法。置田二百四十步,亦以一為二千五百二十乘之,為 實。實如法得從步。

〔一0〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一畝,問從幾何?

答曰:七十九步、八萬三千七百一十一分步之三萬九千六百三十一。
術曰: 下有一十一分,以一為二萬七千七百二十,半為一萬三千八百六十,三分之一為九千二百四十,四分之一為六千九百三十,五分之一為五千五百四十四,六分之一為 四千六百二十,七分之一為三千九百六十,八分之一為三千四百六十五,九分之一為三千八十,一十分之一為二千七百七十二,一十一分之一為二千五百二十,並之 得八萬三千七百一十一,以為法。置田二百四十步,亦以一為二萬七千七百二十乘之,為實。實如法得從步。

〔一一〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一畝,問從幾何?

答曰:七十七步、八萬六千二十一分步之二萬九千一百八十三。
術曰: 下有一十二分,以一為八萬三千一百六十,半為四萬一千五百八十,三分之一為二萬七千七百二十,四分之一為二萬七百九十,五分之一為一萬六千六百三十二,六 分之一為一萬三千八百六十,七分之一為一萬一千八百八十,八分之一為一萬三百九十五,九分之一為九千二百四十,一十分之一為八千三百一十六十一分之一為七 千五百六十,十二分之一為六千九百三十,並之得二十五萬八千六十三,以為法。置田二百四十步,亦以一為八萬三千一百六十乘之,為實。實如法得從步。

〔一二〕今有積五萬五千二百二十五步。問為方幾何?

答曰:二百三十五步。

〔一三〕又有積二萬五千二百八十一步。問為方幾何?

答曰:一百五十九步。

〔一四〕又有積七萬一千八百二十四步。問為方幾何?

答曰:二百六十八步。

〔一五〕又有積五十六萬四千七百五十二步、四分步之一。問為方幾何?

答曰:七百五十一步半。

〔一六〕又有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步。問為方幾何?

答曰:六萬三千二十五步。
開方術曰: 置積為實。借一算步之,超一等。議所得,以一乘所借一算為法,而以除。除已,倍法為定法。其復除。折法而下。復置借算步之如初,以復議一乘之,所得副,以 加定法,以除。以所得副從定法。復除折下如前。若開之不盡者為不可開,當以面命之。若實有分者,通分內子為定實。乃開之,訖,開其母報除。若母不可開者, 又以母乘定實,乃開之,訖,令如母而一。

〔一七〕今有積一千五百一十八步、四分步之三。問為圓周幾何?

答曰:一百三十五步。

〔一八〕今有積三百步。問為圓周幾何?

答曰:六十步。
開圓術曰:置積步數,以十二乘之,以開方除之,即得周。

〔一九〕今有積一百八十六萬八百六十七尺。問為立方幾何?

答曰:一百二十三尺。

〔二0〕今有積一千九百五十三尺、八分尺之一。問為立方幾何?

答曰:一十二尺半。

〔二一〕今有積六萬三千四百一尺、五百一十二分尺之四百四十七。問為立方幾何?

答曰:三十九尺、八分尺之七。

〔二二〕又有積一百九十三萬七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。問為立方幾何?

答曰:一百二十四尺、太半尺。
開立方術曰: 置積為實。借一算步之,超二等。議所得,以再乘所借一算為法,而除之。除已,三之為定法。復除,折而下。以三乘所得數置中行。復借一算置下行。步之,中超 一,下超二等。復置議,以一乘中,再乘下,皆副以加定法。以定法除。除已,倍下、並中從定法。復除,折下如前。開之不盡者,亦為不可開。若積有分者,通分 內子為定實。定實乃開之,訖,開其母以報除。若母不可開者,又以母再乘定實,乃開之。訖,令如母而一。

〔二三〕今有積四千五百尺。問為立圓徑幾何?

答曰:二十尺。

〔二四〕又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問為立圓徑幾何?

答曰:一萬四千三百尺。
開立圓術曰:置積尺數,以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即丸徑。

[編輯]九章算術 卷第五 商功

〔一〕今有穿地積一萬尺。問為堅、壤各幾何?

答曰:為堅七千五百尺。為壤一萬二千五百尺。
術曰:穿地四,為壤五,為堅三,為墟四。以穿地求壤,五之;求堅,三之,皆四而一。以壤求穿,四之;求堅,三之,皆五而一。以堅求穿,四之;求壤,五之,皆三而一。城、垣、隄、溝、、渠,皆同術。
術曰:並上下廣而半之,以高若深乘之,又以袤乘之,即積尺。

〔二〕今有城下廣四丈,上廣二丈,高五丈,袤一百二十六丈五尺。問積幾何?

答曰:一百八十九萬七千五百尺。

〔三〕今有垣下廣三尺,上廣二尺,高一丈二尺,袤二十二丈五尺八寸。問積幾何?

答曰:六千七百七十四尺。

〔四〕今有隄下廣二丈,上廣八尺,高四尺,袤一十二丈七尺。問積幾何?

答曰:七千一百一十二尺。

冬程人功四百四十四尺。問用徒幾何?

答曰:一十六人、一百一十一分人之二。
術曰:以積尺為實,程功尺數為法,實如法而一,即用徒人數。

〔五〕今有溝上廣一丈五尺,下廣一丈,深五尺,袤七丈。問積幾何?

答曰:四千三百七十五尺。

春程人功七百六十六尺,並出土功五分之一,定功六百一十二尺、五分尺之四。問用徒幾何?

答曰:七人、三千六十四分人之四百二十七。
術曰:置本人功,去其五分之一,餘為法。以溝積尺為實。實如法而一,得用徒人數。

〔六〕今有塹上廣一丈六尺三寸,下廣一丈,深六尺三寸,袤一十三丈二尺一寸。問積幾何?

答曰:一萬九百四十三尺八寸。

夏程人功八百七十一尺。並出土功五分之一,沙礫水石之功作太半,定功二百三十二尺、一十五分尺之四。問用徒幾何?

答曰:四十七人、三千四百八十四分人之四百九。
術曰:置本人功,去其出土功五分之一,又去沙礫水石之功太半,餘為法。以塹積尺為實。實如法而一,即用徒人數。

〔七〕今有穿渠上廣一丈八尺,下廣三尺六寸,深一丈八尺,袤五萬一千八百二十四尺。問積幾何?

答曰:一千七萬四千五百八十五尺六寸。

秋程人功三百尺,問用徒幾何?

答曰:三萬三千五百八十二人功。內少一十四尺四寸。

一千人先到,問當受袤幾何?

答曰:一百五十四丈三尺二寸、八十一分寸之八。
術曰:以一人功尺數,乘先到人數為實。並渠上下廣而半之,以深乘之為法。實如法得袤尺。

〔八〕今有方堡壔方一丈六尺,高一丈五尺。問積幾何?

答曰:三千八百四十尺。
術曰:方自乘,以高乘之,即積尺。

〔九〕今有圓堡壔,周四丈八尺,高一丈一尺。問積幾何?

答曰:二千一百一十二尺。
術曰:周自相乘,以高乘之,十二而一。

〔一0〕今有方亭,下方五丈,上方四丈,高五丈。問積幾何?

答曰:一十萬一千六百六十六尺、太半尺。
術曰:上下方相乘,又各自乘,並之,以高乘之,三而一。

〔一一〕今有圓亭,下周三丈,上周二丈,高一丈。問積幾何?

答曰:五百二十七尺、九分尺之七。
術曰:上、下周相乘,又各自乘,並之,以高乘之,三十六而一。

〔一二〕今有方錐下方二丈七尺,高二丈九尺。問積幾何?

答曰:七千四十七尺。
術曰:下方自乘,以高乘之,三而一。

〔一三〕今有圓錐下周三丈五尺,高五丈一尺。問積幾何?

答曰:一千七百三十五尺、一十二分尺之五。
術曰:下周自乘,以高乘之,三十六而一。

〔一四〕今有塹堵下廣二丈,袤一十八丈六尺,高二丈五尺。問積幾何?

答曰:四萬六千五百尺。
術曰:廣袤相乘,以高乘之,二而一。

〔一五〕今有陽馬,廣五尺,袤七尺,高八尺。問積幾何?

答曰:九十三尺、少半尺。
術曰:廣袤相乘,以高乘之,三而一。

〔一六〕今有鱉臑下廣五尺,無袤,上袤四尺,無廣,高七尺。問積幾何?

答曰:二十三尺、少半尺。
術曰:廣袤相乘,以高乘之,六而一。

〔一七〕今有羨除,下廣六尺,上廣一丈,深三尺,末廣八尺,無深,袤七尺。問積幾何?

答曰:八十四尺。
術曰:並三廣,以深乘之,又以袤乘之,六而一。

〔一八〕今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無廣,高一丈。問積幾何?

答曰:五千尺。
術曰:倍下袤,上袤從之,以廣乘之,又以高乘之,六而一。

芻童、曲池、盤池、冥谷,皆同術。

術曰:倍上袤,下袤從之,亦倍下袤,上袤從之,各以其廣乘之,並,以高若深乘之,皆六而一。其曲池者,並上中、外周而半之,以為上袤;亦並下中、外周而半之,以為下袤。

〔一九〕今有芻童,下廣二丈,袤三丈,上廣三丈,袤四丈,高三丈。問積幾何?

答曰:二萬六千五百尺。

〔二0〕今有曲池,上中周二丈,外周四丈,廣一丈,下中周一丈四尺,外周二丈四尺,廣五尺,深一丈。問積幾何?

答曰:一千八百八十三尺三寸、少半寸。

〔二一〕今有盤池,上廣六丈,袤八丈,下廣四丈,袤六丈,深二丈。問積幾何?

答曰:七萬六百六十六尺、太半尺。

負土往來七十步,其二十步上下棚除。棚除二當平道五,踟躕之間十加一,載輸之間三十步,定一返一百四十步。土籠積一尺六寸,秋程人功行五十九里半。問人到、積尺、用徒各幾何?

答曰:人到二百四尺。用徒三百四十六人、一百五十三分人之六十二。
術曰:以一籠積尺乘程行步數為實。往來上下,棚除二當平道五。置定往來步數,十加一,及載輸之間三十步以為法。除之,所得即一人所到尺。以所到約積尺,即用徒人數。

〔二二〕今有冥谷上廣二丈,袤七丈,下廣八尺,袤四丈,深六丈五尺。問積幾何?

答曰:五萬二千尺。

載土往來二百步,載輸之間一里,程行五十八里,六人共車,車載三十四尺七寸。問人到積尺及用徒各幾何?

答曰:人到二百一尺、五十分尺之十三。用徒二百五十八人、一萬六十三分人之三千七百四十六。
術曰:以一車積尺乘程行步數為實。置今往來步數,加載輸之間一里,以車六人乘之,為法。除之,所得即一人所到尺。以所到約積尺,即用徒人數。

〔二三〕今有委粟平地,下周一十二丈,高二丈。問積及為粟幾何?

答曰:積八千尺。為粟二千九百六十二斛、二十七分斛之二十六。

〔二四〕今有委菽依垣,下周三丈,高七尺。問積及為菽各幾何?

答曰:積三百五十尺。為菽一百四十四斛、二百四十三分斛之八。

〔二五〕今有委米依垣內角,下周八尺,高五尺。問積及為米幾何?

答曰:積三十五尺、九分尺之五。為米二十一斛,七百二十九分斛之六百九十一。
委粟術曰:下周自乘,以高乘之,三十六而一。其依垣者,十八而一。其依垣內角者,九而一。

程粟一斛,積二尺七寸。其米一斛,積一尺六寸、五分寸之一。其菽、答、麻、麥一斛,皆二尺四寸、十分寸之三。

〔二六〕今有穿地,袤一丈六尺,深一丈,上廣六尺,為垣積五百七十六尺。問穿地下廣幾何?

答曰:三尺、五分尺之三。
術曰:置垣積尺,四之為實。以深、袤相乘,又三之,為法。所得倍之,減上廣,餘即下廣。

〔二七〕今有倉廣三丈,袤四丈五尺,容粟一萬斛。問高幾何?

答曰:二丈。
術曰:置粟一萬斛積尺為實。廣袤相乘為法。實如法而一,得高尺。

〔二八〕今有圓困,高一丈三尺三寸、少半寸,容米二千斛。問周幾何?

答曰:五丈四尺。
術曰:置米積尺,以十二乘之,令高而一,所得,開方除之,即周。

[編輯]九章算術 卷第六 均輸

〔一〕今有均輸粟: 甲縣一萬戶,行道八日;

乙縣九千五百戶,行道十日;

丙縣一萬二千三百五十戶,行道十三日;

丁縣一萬二千二百戶,行道二十日,各到輸所。

凡四縣賦,當輸二十五萬斛,用車一萬乘。

欲以道里遠近,戶數多少,衰出之。問粟、車各幾何?

答曰:

甲縣粟八萬三千一百斛,車三千三百二十四乘。

乙縣粟六萬三千一百七十五斛,車二千五百二十七乘。

丙縣粟六萬三千一百七十五斛,車二千五百二十七乘。

丁縣粟四萬五百五十斛,車一千六百二十二乘。

均輸術曰:令縣戶數,各如其本行道日數而一,以為衰。甲衰一百二十五,乙、丙衰各九十五,丁衰六十一,副並為法。以賦粟、車數乘未並者,各自為實。實如法得一車。有分者,上下輩之。以二十五斛乘車數,即粟數。

〔二〕今有均輸卒:

甲縣一千二百人,薄塞;

乙縣一千五百五十人,行道一日;

丙縣一千二百八十人,行道二日;

丁縣九百九十人,行道三日;

戊縣一千七百五十人,行道五日。

凡五縣,賦輸卒一月一千二百人。欲以遠近、戶率,多少衰出之。問縣各幾何?

答曰:

甲縣二百二十九人。

乙縣二百八十六人。

丙縣二百二十八人。

丁縣一百七十一人。

戊縣二百八十六人。

術曰:令縣卒,各如其居所及行道日數而一,以為衰。甲衰四,乙衰五,丙衰四,丁衰三,戊衰五,副並為法。以人數乘未並者各自為實。實如法而一。有分者,上下輩之。

〔三〕今有均賦粟:

甲縣二萬五百二十戶,粟一斛二十錢,自輸其縣;

乙縣一萬二千三百一十二戶,粟一斛一十錢,至輸所二百里;

丙縣七千一百八十二戶,粟一斛一十二錢,至輸所一百五十里;

丁縣一萬三千三百三十八戶,粟一斛一十七錢,至輸所二百五十里;

戊縣五千一百三十戶,粟一斛一十三錢,至輸所一百五十里。

凡五縣賦,輸粟一萬斛。一車載二十五斛,與僦一里一錢。欲以縣戶輸粟,令費勞等。問縣各粟幾何?

答曰:

甲縣三千五百七十一斛、二千八百七十三分斛之五百一十七。

乙縣二千三百八十斛、二千八百七十三分斛之二千二百六十。

丙縣一千三百八十八斛、二千八百七十三分斛之二千二百七十六。

丁縣一千七百一十九斛、二千八百七十三分斛之一千三百一十三。

戊縣九百三十九斛、二千八百七十三分斛之二千二百五十三。

術曰:以一里僦價,乘至輸所里,以一車二十五斛除之,加一斛粟價,則致一斛之費。各以約其戶數,為衰。甲衰一千二十六,乙衰六百八十四,丙衰三百九十九,丁衰四百九十四,戊衰二百七十,副並為法。所賦粟乘未並者,各自為實。實如法得一。

〔四〕今有均賦粟, 甲縣四萬二千算,粟一斛二十,自輸其縣;

乙縣三萬四千二百七十二算,粟一斛一十八,傭價一日一十錢,到輸所七十里;

丙縣一萬九千三百二十八算,粟一斛一十六,傭價一日五錢,到輸所一百四十里;

丁縣一萬七千七百算,粟一斛一十四,傭價一日五錢,到輸所一百七十五里;

戊縣二萬三千四十算,粟一斛一十二,傭價一日五錢,到輸所二百一十里;

己縣一萬九千一百三十六算,粟一斛一十,傭價一日五錢,到輸所二百八十里。

凡六縣賦粟六萬斛,皆輸甲縣。六人共車,車載二十五斛,重車日行五十里,空車日行七十里,載輸之間各一日。粟有貴賤,傭各別價,以算出錢,令費勞等。問縣各粟幾何?

答曰:

甲縣一萬八千九百四十七斛、一百三十三分斛之四十九。

乙縣一萬八百二十七斛、一百三十三分斛之九。

丙縣七千二百一十八斛、一百三十三分斛之六。

丁縣六千七百六十六斛、一百三十三分斛之一百二十二。

戊縣九千二十二斛、一百三十三分斛之七十四。

己縣七千二百一十八斛、一百三十三分斛之六。

術曰:以車程行空、重相乘為法,並空、重以乘道里,各自為實,實如法得一日。加載輸各一日,而以六人乘之,又以傭價乘之,以二十五斛除之,加一斛粟價,即致一斛之費。各以約其算數為衰,副並為法,以所賦粟乘未並者,各自為實。實如法得一斛。

〔五〕今有粟七斗,三人分舂之,一人為糲米,一人為粺米,一人為鑿米,令米數等。問取粟為米各幾何?

答曰:

糲米取粟二斗、一百二十一分斗之一十。

粺米取粟二斗、一百二十一分斗之三十八。

鑿米取粟二斗、一百二十一分斗之七十三。

為米各一斗、六百五分斗之一百五十一。

術曰:列置糲米三十,粺米二十七,鑿米二十四,而反衰之,副並為法。以七斗乘未並者,各自為取粟實。實如法得一斗。若求米等者,以本率各乘定所取粟為實,以粟率五十為法,實如法得一斗。

〔六〕今有人當稟粟二斛。倉無粟,欲與米一、菽二,以當所稟粟。問各幾何?

答曰:米五斗一升、七分升之三。菽一斛二升、七分升之六。
術曰:置米一、菽二求為粟之數。並之得三、九分之八,以為法。亦置米一、菽二,而以粟二斛乘之,各自為實。實如法得一斛。

〔七〕今有取傭負鹽二斛,行一百里,與錢四十。今負鹽一斛七斗三升、少半升,行八十里。問與錢幾何?

答曰:二十七錢、十五分錢之十一。
術曰:置鹽二斛升數,以一百里乘之為法。以四十錢乘今負鹽升數,又以八十里乘之,為實。實如法得一錢。

〔八〕今有負籠重一石一十七斤,行七十六步,五十返。今負籠重一石,行百步,問返幾何?

答曰:四十三返、六十分返之二十三。
術曰:以今所行步數乘今籠重斤數為法,故籠重斤數乘故步,又以返數乘之,為實。實如法得一返。

〔九〕今有程傳委輸,空車日行七十里,重車日行五十里。今載太倉粟輸上林,五日三返。問太倉去上林幾何?

答曰:四十八里、十八分里之十一。
術曰:並空、重里數,以三返乘之,為法。令空、重相乘,又以五日乘之,為實。實如法得一里。

〔一0〕今有絡絲一斤為練絲一十二兩,練絲一斤為青絲一斤十二銖。今有青絲一斤,問本絡絲幾何?

答曰:一斤四兩一十六銖、三十三分銖之十六。
術曰:以練絲十二兩乘青絲一斤一十二銖為法。以青絲一斤銖數乘練絲一斤兩數,又以絡絲一斤乘之,為實。實如法得一斤。

〔一一〕今有惡粟二十斗,舂之,得糲米九斗。今欲求粺米十斗,問惡粟幾何?

答曰:二十四斗六升、八十一分升之七十四。
術曰:置糲米九斗,以九乘之,為法。亦置粺米十斗,以十乘之,又以惡粟二十斗乘之,為實。實如法得一斗。

〔一二〕今有善行者行一百步,不善行者行六十步。今不善行者先行一百步,善行者追之,問幾何步及之?

答曰:二百五十步。
術曰:置善行者一百步,減不善行者六十步,餘四十步,以為法。以善行者之一百步,乘不善行者先行一百步,為實。實如法得一步。

〔一三〕今有不善行者先行一十里,善行者追之一百里,先至不善行者二十里。問善行者幾何里及之?

答曰:三十三里、少半里。
術曰:置不善行者先行一十里,以善行者先至二十里增之,以為法。以不善行者先行一十里,乘善行者一百里,為實。實如法得一里。

〔一四〕今有兔先走一百步,犬追之二百五十步,不及三十步而止。問犬不止,復行幾何步及之?

答曰:一百七步、七分步之一。
術曰:置兔先走一百步,以犬走不及三十步減之,餘為法。以不及三十步乘犬追步數為實,實如法得一步。

〔一五〕今有人持金十二斤出關。關稅之,十分而取一。今關取金二斤,償錢五千。問金一斤值錢幾何?

答曰:六千二百五十。
術曰:以一十乘二斤,以十二斤減之,餘為法。以一十乘五千為實。實如法得一錢。

〔一六〕今有客馬日行三百里。客去忘持衣,日已三分之一,主人乃覺。持衣追及與之而還,至家視日四分之三。問主人馬不休,日行幾何?

答曰:七百八十里。
術曰:置四分日之三,除三分日之一,半其餘以為法。副置法,增三分日之一,以三百里乘之,為實。實如法,得主人馬一日行。

〔一七〕今有金箠,長五尺。斬本一尺,重四斤。斬末一尺,重二斤。問次一尺各重幾何?

答曰:末一尺,重二斤。

次一尺,重二斤八兩。

次一尺,重三斤。

次一尺,重三斤八兩。

次一尺,重四斤。

術曰:令末重減本重,餘即差率也。又置本重,以四間乘之,為下第一衰。副置,以差率減之,每尺各自為衰。副置下第一衰以為法,以本重四斤遍乘列衰,各自為實。實如法得一斤。

〔一八〕今有五人分五錢,令上二人所得與下三人等。問各得幾何?

答曰:

甲得一錢、六分錢之二,

乙得一錢、六分錢之一,

丙得一錢,

丁得六分錢之五,

戊得六分錢之四。

術曰:置錢錐行衰,並上二人為九,並下三人為六。六少於九,三。以三均加焉,副並為法。以所分錢乘未並者各自為實。實如法得一錢。

〔一九〕今有竹九節,下三節容四升,上四節容三升。問中間二節欲均容各多少?

答曰:

下初,一升、六十六分升之二十九,

次一升、六十六分升之二十二,

次一升、六十六分升之一十五,

次一升、六十六分升之八,

次一升、六十六分升之一,

次六十六分升之六十,

次六十六分升之五十三,

次六十六分升之四十六,

次六十六分升之三十九。

術曰:以下三節分四升為下率,以上四節分三升為上率。上下率以少減多,餘為實。置四節、三節,各半之,以減九節,餘為法。實如法得一升,即衰相去也。下率,一升、少半升者,下第二節容也。

〔二0〕今有鳧起南海,七日至北海;鴈起北海,九日至南海。今鳧鴈俱起。問何日相逢?

答曰:三日、十六分日之十五。
術曰:並日數為法,日數相乘為實,實如法得一日。

〔二一〕今有甲發長安,五日至齊;乙發齊,七日至長安。今乙發已先二日,甲乃發長安。問幾何日相逢?

答曰:二日、十二分日之一。
術曰:並五日、七日以為法。以乙先發二日減七日,餘,以乘甲日數為實。實如法得一日。

〔二二〕今有一人一日為牡瓦三十八枚,一人一日為牝瓦七十六枚。今令一人一日作瓦,牝、牡相半,問成瓦幾何?

答曰:二十五枚、少半枚。
術曰:並牝、牡為法,牝牡相乘為實,實如法得一枚。

〔二三〕今有一人一日矯矢五十,一人一日羽矢三十,一人一日筈矢十五。今令一人一日自矯、羽、筈,問成矢幾何?

答曰:八矢、少半矢。
術曰:矯矢五十,用徒一人。羽矢五十,用徒一人、太半人。筈矢五十,用徒三人、少半人。並之,得六人,以為法。以五十矢為實。實如法得一矢。

〔二四〕今有假田,初假之歲三畝一錢,明年四畝一錢,後年五畝一錢。凡三歲得一百,問田幾何?

答曰:一頃二十七畝、四十七分畝之三十一。
術曰:置畝數及錢數,令畝數互乘錢數,並以為法。畝數相乘,又以百錢乘之,為實。實如法得一畝。

〔二五〕今有程耕,一人一日發七畝,一人一日耕三畝,一人一日耰種五畝。今令一人一日自發、耕、耰種之,問治田幾何?

答曰:一畝一百一十四步、七十一分步之六十六。
術曰:置發、耕、耰畝數,令互乘人數,並以為法。畝數相乘為實。實如法得一畝。

〔二六〕今有池,五渠注之。其一渠開之,少半日一滿;次,一日一滿;次,二日半一滿;次,三日一滿;次,五日一滿。今皆決之,問幾何日滿池?

答曰:七十四分日之十五。
術曰:各置渠一日滿池之數,並以為法。以一日為實。實如法得一日。其一術,列置日數及滿數,今日互相乘滿,並以為法,日數相乘為實,實如法得一日。

〔二七〕今有人持米出三關,外關三而取一,中關五而取一,內關七而取一,餘米五斗。問本持米幾何?

答曰:十斗九升、八分升之三。
術曰:置米五斗。以所稅者三之,五之,七之,為實。以餘不稅者二、四、六相乘為法。實如法得一斗。

〔二八〕今有人持金出五關,前關二而稅一,次關三而稅一,次關四而稅一,次關五而稅一,次關六而稅一。並五關所稅,適重一斤。問本持金幾何?

答曰:一斤三兩四銖、五分銖之四。
術曰:置一斤,通所稅者以乘之為實。亦通其不稅者以減所通,餘為法。實如法得一斤。

[編輯]九章算術 卷第七 盈不足

〔一〕今有共買物,人出八,盈三;人出七,不足四。問人數、物價各幾何?

答曰:七人,物價五十三。

〔二〕今有共買雞,人出九,盈十一;人出六,不足十六。問人數、雞價各幾何?

答曰:九人,雞價七十。

〔三〕今有共買璡,人出半,盈四;人出少半,不足三。問人數、璡價各幾何?

答曰:四十二人,璡價十七。

〔四〕今有共買牛,七家共出一百九十,不足三百三十;九家共出二百七十,盈三十。問家數、牛價各幾何?

答曰:一百二十六家,牛價三千七百五十。
盈不足術曰:置所出率,盈、不足各居其下。令維乘所出率,並以為實。並盈、不足為法。實如法而一。有分者,通之。盈不足相與同其買物者,置所出率,以少減多,餘,以約法、實。實為物價,法為人數。
其一術曰:並盈不足為實。以所出率以少減多,餘為法。實如法得一人。以所出率乘之,減盈、增不足即物價。

〔五〕今有共買金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百。問人數、金價各幾何?

答曰:三十三人。金價九千八百。

〔六〕今有共買羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三。問人數、羊價各幾何?

答曰:二十一人,羊價一百五十。
兩盈、兩不足術曰:置所出率,盈、不足各居其下。令維乘所出率,以少減多,餘為實。兩盈、兩不足以少減多,餘為法。實如法而一。有分者通之。

兩盈、兩不足相與同其買物者,置所出率,以少減多,餘,以約法實,實為物價,法為人數。

其一術曰:置所出率,以少減多,餘為法。兩盈、兩不足,以少減多,餘為實。實如法而一得人數。以所出率乘之,減盈、增不足,即物價。

〔七〕今有共買豕,人出一百,盈一百;人出九十,適足。問人數、豕價各幾何?

答曰:一十人,豕價九百。

〔八〕今有共買犬,人出五,不足九十;人出五十,適足。問人數、犬價各幾何?

答曰:二人,犬價一百。
盈、適足,不足、適足術曰:以盈及不足之數為實。置所出率,以少減多,餘為法。實如法得一人。其求物價者,以適足乘人數得物價。

〔九〕今有米在十斗桶中,不知其數。滿中添粟而舂之,得米七斗。問故米幾何?

答曰:二斗五升。
術曰:以盈不足術求之,假令故米二斗,不足二升。令之三斗,有餘二升。

〔一0〕今有垣高九尺。瓜生其上,蔓日長七寸。瓠生其下,蔓日長一尺。問幾何日相逢?瓜、瓠各長幾何?

答曰:五日、十七分日之五。瓜長三尺七寸、十七分寸之一,瓠長五尺二寸、十七分寸之十六。
術曰:假令五日,不足五寸。令之六日,有餘一尺二寸。

〔一一〕今有蒲生一日,長三尺。莞生一日,長一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。問幾何日而長等?

答曰:二日、十三分日之六。各長四尺八寸、十三分寸之六。
術曰:假令二日,不足一尺五寸。令之三日,有餘一尺七寸半。

〔一二〕今有垣厚五尺,兩鼠對穿。大鼠日一尺,小鼠亦日一尺。大鼠日自倍,小鼠日自半。問幾何日相逢?各穿幾何?

答曰:二日、十七分日之二。大鼠穿三尺四寸、十七分寸之十二,小鼠穿一尺五寸、十七分寸之五。
術曰:假令二日,不足五寸。令之三日,有餘三尺七寸半。

〔一三〕今有醇酒一斗,直錢五十;行酒一斗,直錢一十。今將錢三十,得酒二斗。問醇、行酒各得幾何?

答曰:醇酒二升半,行酒一斗七升半。
術曰:假令醇酒五升,行酒一斗五升,有餘一十。令之醇酒二升,行酒一斗八升,不足二。

〔一四〕今有大器五、小器一容三斛;大器一、小器五容二斛。問大、小器各容幾何?

答曰:大器容二十四分斛之十三,小器容二十四分斛之七。
術曰:假令大器五斗,小器亦五斗,盈一十斗。令之大器五斗五升,小器二斗五升,不足二斗。

〔一五〕今有漆三得油四,油四和漆五。今有漆三斗,欲令分以易油,還自和餘漆。問出漆、得油、和漆各幾何?

答曰:出漆一斗一升、四分升之一,得油一斗五升,和漆一斗八升,四分升之三。
術曰:假令出漆九升,不足六升。令之出漆一斗二升,有餘二升。

〔一六〕今有玉方一寸,重七兩;石方一寸,重六兩。今有石立方三寸,中有玉,並重十一斤。問玉、石重各幾何?

答曰:玉一十四寸,重六斤二兩。石一十三寸,重四斤十四兩。
術曰:假令皆玉,多十三兩。令之皆石,不足十四兩。不足為玉,多為石。各以一寸之重乘之,得玉石之積重。

〔一七〕今有善田一畝,價三百;惡田七畝,價五百。今並買一頃,價錢一萬。問善、惡田各幾何?

答曰:善田一十二畝半,惡田八十七畝半。
術曰:假令善田二十畝,惡田八十畝,多一千七百一十四錢、七分錢之二。

令之善田一十畝,惡田九十畝,不足五百七十一錢、七分錢之三。

〔一八〕今有黃金九枚,白銀一十一枚,稱之重適等。交易其一,金輕十三兩。問金、銀一枚各重幾何?

答曰:金重二斤三兩一十八銖,銀重一斤十三兩六銖。
術曰:假令黃金三斤,白銀二斤、一十一分斤之五,不足四十九,於右行。

令之黃金二斤,白銀一斤、一十一分斤之七,多一十五於左行。以分母各乘其行內之數,以盈不足維乘所出率,並以為實。並盈不足為法。實如法,得黃金重。分母乘法以除,得銀重。約之得分也。

〔一九〕今有良馬與駑馬發長安至齊。齊去長安三千里。良馬初日行一百九十三里,日增十三里。駑馬初日行九十七里,日減半里。良馬先至齊,復還迎駑馬。問幾何日相逢及各行幾何?

答曰:一十五日、一百九十一分日之一百三十五而相逢。

良馬行四千五百三十四里、一百九十一分里之四十六。 駑馬行一千四百六十五里、一百九十一分里之一百四十五。

術曰:假令十五日,不足三百三十七里半。令之十六日,多一百四十里。以盈、不足維乘假令之數,並而為實。並盈不足為法。實如法而一,得日數。不盡者,以等數除之而命分。

〔二0〕今有人持錢之蜀,賈利十三。初返歸一萬四千,次返歸一萬三千,次返歸一萬二千,次返歸一萬一千,後返歸一萬。凡五返歸錢,本利俱盡。問本持錢及利各幾何?

答曰:本三萬四百六十八錢、三十七萬一千二百九十三分錢之八萬四千八百七十六。利二萬九千五百三十一錢、三十七萬一千二百九十三分錢之二十八萬六千四百一十七。
術曰:假令本錢三萬,不足一千七百三十八錢半。令之四萬,多三萬五千三百九十錢八分。

[編輯]九章算術 卷第八 方程

〔一〕今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,實三十九斗; 上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,實三十四斗; 上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,實二十六斗。 問上、中、下禾實一秉各幾何?

答曰:

上禾一秉,九斗、四分斗之一,

中禾一秉,四斗、四分斗之一,

下禾一秉,二斗、四分斗之三。

方程術曰, 置上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,實三十九斗,於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次,亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行 而以直除。左方下禾不盡者,上為法,下為實。實即下禾之實。求中禾,以法乘中行下實,而除下禾之實。餘如中禾秉數而一,即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下 實,而除下禾、中禾之實。餘如上禾秉數而一,即上禾之實。實皆如法,各得一斗。

〔二〕今有上禾七秉,損實一斗,益之下禾二秉,而實一十斗。下禾八秉,益實一斗與上禾二秉,而實一十斗。問上、下禾實一秉各幾何?

答曰:上禾一秉實一斗、五十二分斗之一十八,下禾一秉實五十二分斗之四十一。
術曰:如方程。損之曰益,益之曰損。損實一斗者,其實過一十斗也。益實一斗者,其實不滿一十斗也。

〔三〕今有上禾二秉,中禾三秉,下禾四秉,實皆不滿斗。上取中,中取下,下取上各一秉而實滿斗。問上、中、下禾實一秉各幾何?

答曰:

上禾一秉實二十五分斗之九,

中禾一秉實二十五分斗之七,

下禾一秉實二十五分斗之四。

術曰:如方程,各置所取,以正負術入之。
正負術曰:同名相除,異名相益,正無入負之,負無入正之。其異名相除,同名相益,正無入正之,負無入負之。

〔四〕今有上禾五秉,損實一斗一升,當下禾七秉。上禾七秉,損實二斗五升,當下禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何?

答曰:上禾一秉五升,下禾一秉二升。
術曰:如方程,置上禾五秉正,下禾七秉負,損實一斗一升正。次置上禾七秉正,下禾五秉負,損實二斗五升正。以正負術入之。

〔五〕今有上禾六秉,損實一斗八升,當下禾一十秉。下禾十五秉,損實五升,當上禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何?

答曰:上禾一秉實八升,下禾一秉實三升。
術曰:如方程,置上禾六秉正,下禾一十秉負,損實一斗八升正。次置上禾五秉負,下禾一十五秉正,損實五升正。以正負術人之。

〔六〕今有上禾三秉,益實六斗,當下禾十秉。下禾五秉,益實一斗,當上禾二秉。問上、下禾實一秉各幾何?

答曰:上禾一秉實八斗,下禾一秉實三斗。
術曰:如方程,置上禾三秉正,下禾一十秉負,益實六斗負。次置上禾二秉負,下禾五秉正,益實一斗負。以正負術入之。

〔七〕今有牛五、羊二,直金十兩。牛二、羊五直金八兩。問牛羊各直金幾何?

答曰:牛一,直金一兩、二十一分兩之一十三,羊一,直金二十一分兩之二十。
術曰:如方程。

〔八〕今有賣牛二、羊五,以買十三豕,有餘錢一千。賣牛三、豕三,以買九羊,錢適足。賣羊六、豕八,以買五牛,錢不足六百。問牛、羊、豕價各幾何?

答曰:牛價一千二百,羊價五百,豕價三百。
術曰:如方程,置牛二、羊五正,豕一十三負,餘錢數正;次牛三正,羊九負,豕三正;次牛五負,羊六正,豕八正,不足錢負。以正負術入之。

〔九〕今有五雀、六燕,集稱之衡,雀俱重,燕俱輕。一雀一燕交而處,衡適平。並燕、雀重一斤。問燕、雀一枚各重幾何?

答曰:雀重一兩、一十九分兩之十三,燕重一兩、一十九分兩之五。
術曰:如方程,交易質之,各重八兩。

〔一0〕今有甲乙二人持錢不知其數。甲得乙半而錢五十,乙得甲太半而亦錢五十。問甲、乙持錢各幾何?

答曰:甲持三十七錢半,乙持二十五錢。
術曰:如方程,損益之。

〔一一〕今有二馬、一牛價過一萬,如半馬之價。一馬、二牛價不滿一萬,如半牛之價。問牛、馬價各幾何?

答曰:馬價五千四百五十四錢、一十一分錢之六,牛價一千八百一十八錢、一十一分錢之二。
術曰:如方程,損益之。

〔一二〕今有武馬一匹,中馬二匹,下馬三匹,皆載四十石至阪,皆不能上。武馬借中馬一匹,中馬借下馬一匹,下馬借武馬一匹,乃皆上。問武、中、下馬一匹各力引幾何?

答曰:武馬一匹力引二十二石、七分石之六,

中馬一匹力引十七石、七分石之一,

下馬一匹力引五石、七分石之五。

術曰:如方程各置所借,以正負術入之。

〔一三〕今有五家共井,甲二綆不足,如乙一綆; 乙三綆不足,如丙一綆; 丙四綆不足,如丁一綆; 丁五綆不足,如戊一綆; 戊六綆不足,如甲一綆。 如各得所不足一綆,皆逮。問井深、綆長各幾何?

答曰:井深七丈二尺一寸。

甲綆長二丈六尺五寸,

乙綆長一丈九尺一寸,

丙綆長一丈四尺八寸,

丁綆長一丈二尺九寸,

戊綆長七尺六寸。

術曰:如方程,以正負術入之。

〔一四〕今有白禾二步、青禾三步、黃禾四步、黑禾五步,實各不滿斗。白取青、黃,青取黃、黑,黃取黑、白,黑取白、青,各一步,而實滿斗。問白、青、黃、黑禾實一步各幾何?

答曰:

白禾一步實一百一十一分斗之三十三, 青禾一步實一百一十一分斗之二十八, 黃禾一步實一百一十一分斗之一十七, 黑禾一步實一百一十一分斗之一十。

術曰:如方程,各置所取,以正負術入之。

〔一五〕今有甲禾二秉、乙禾三秉、丙禾四秉,重皆過於石。甲二重如乙一,乙三重如丙一,丙四重如甲一。問甲、乙、丙禾一秉各重幾何?

答曰:

甲禾一秉重二十三分石之十七,

乙禾一秉重二十三分石之十一,

丙禾一秉重二十三分石之十。

術曰:如方程,置重過於石之物為負。以正負術入之。

〔一六〕今有令一人、吏五人、從者一十人,食雞一十;令一十人、吏一人、從者五人,食雞八;令五人、吏一十人、從者一人,食雞六。問令、吏、從者食雞各幾何?

答曰:

令一人食一百二十二分雞之四十五,

吏一人食一百二十二分雞之四十一,

從者一人食一百二十二分雞之九十七。

術曰:如方程,以正負術入之。

〔一七〕今有五羊、四犬、三雞、二兔,直錢一千四百九十六;四羊、二犬、六雞、三兔直錢一千一百七十五;三羊、一犬、七雞、五兔,直錢九百五十八;二羊、三犬、五雞、一兔,直錢八百六十一。問羊、犬、雞、兔價各幾何?

答曰:

羊價一百七十七,

犬價一百二十一,

雞價二十三,

兔價二十九。

術曰:如方程,以正負術入之。

〔一 八〕今有麻九斗、麥七斗、菽三斗、答二斗、黍五斗,直錢一百四十;麻七斗、麥六斗、菽四斗、答五斗、黍三斗,直錢一百二十八;麻三斗、麥五斗、菽七斗、答 六斗、黍四斗,直錢一百一十六;麻二斗、麥五斗、菽三斗、答九斗、黍四斗,直錢一百一十二;麻一斗、麥三斗、菽二斗、答八斗、黍五斗,直錢九十五。問一斗 直幾何?

答曰:

麻一斗七錢,

麥一斗四錢,

菽一斗三錢,

答一斗五錢,

黍一斗六錢。

術曰:如方程,以正負術入之。

[編輯]九章算術 卷第九 勾股

〔一〕今有勾三尺,股四尺,問為弦幾何?

答曰:五尺。

〔二〕今有弦五尺,勾三尺,問為股幾何?

答曰:四尺。

〔三〕今有股四尺,弦五尺,問為勾幾何?

答曰:三尺。
勾股術曰:勾股各自乘,並,而開方除之,即弦。
又股自乘,以減弦自乘,其餘開方除之,即勾。
又勾自乘,以減弦自乘,其餘開方除之,即股。

〔四〕今有圓材徑二尺五寸,欲為方版,令厚七寸。問廣幾何?

答曰:二尺四寸。
術曰:令徑二尺五寸自乘,以七寸自乘減之,其餘開方除之,即廣。

〔五〕今有木長二丈,圍之三尺。葛生其下,纏木七周,上與木齊。問葛長幾何?

答曰:二丈九尺。
術曰:以七周乘三尺為股,木長為勾,為之求弦。弦者,葛之長。

〔六〕今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺。引葭赴岸,適與岸齊。問水深、葭長各幾何?

答曰:水深一丈二尺;葭長一丈三尺。
術曰:半池方自乘,以出水一尺自乘,減之,餘,倍出水除之,即得水深。加出水數,得葭長。

〔七〕今有立木,繫索其末,委地三尺。引索卻行,去本八尺而索盡。問索長幾何?

答曰:一丈二尺、六分尺之一。
術曰:以去本自乘,令如委數而一,所得,加委地數而半之,即索長

〔八〕今有垣高一丈。倚木於垣,上與垣齊。引木卻行一尺,其木至地。問木幾何?

答曰:五丈五寸。
術曰:以垣高十尺自乘,如卻行尺數而一,所得,以加卻行尺數而半之,即木長數。

〔九〕今有圓材,埋在壁中,不知大小。以鐻鐻之,深一寸,鐻道長一尺。問徑幾何?

答曰:材徑二尺六寸。
術曰:半鐻道自乘,如深寸而一,以深寸增之,即材徑。

〔一0〕今有開門去閫一尺,不合二寸。問門廣幾何?

答曰:一丈一寸。
術曰:以去閫一尺自乘,所得,以不合二寸半之而一,所得,增不合之半,即得門廣。

〔一一〕今有戶高多於廣六尺八寸,兩隅相去適一丈。問戶高、廣各幾何?

答曰:廣二尺八寸;高九尺六寸。
術曰:令一丈自乘為實。半相多,令自乘,倍之,減實,半其餘。以開方除之,所得,減相多之半,即戶廣。加相多之半,即戶高。

〔一二〕今有戶不知高廣,竿不知長短。橫之不出四尺,從之不出二尺,邪之適出。問戶高、廣、袤各幾何?

答曰:廣六尺,高八尺,袤一丈。
術曰:從、橫不出相乘,倍,而開方除之。所得加從不出即戶廣,加橫不出即戶高,兩不出加之,得戶袤。

〔一三〕今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺。問折者高幾何?

答曰:四尺、二十分尺之十一。
術曰:以去本自乘,令如高而一,所得,以減竹高而半其餘,即折者之高也。

〔一四〕今有二人同所立。甲行率七,乙行率三。乙東行。甲南行十步而邪東北與乙會。問甲乙行各幾何?

答曰:乙東行一十步半;甲邪行一十四步半及之。
術曰:令七自乘,三亦自乘,並而半之,以為甲邪行率。邪行率減於七自乘,餘為南行率。以三乘七為乙東行率。置南行十步,以甲邪行率乘之,副置十步,以乙東行率乘之,各自為實。實如南行率而一,各得行數。

〔一五〕今有勾五步,股十二步。問勾中容方幾何?

答曰:方三步、十七分步之九。
術曰:並勾、股為法,勾股相乘為實,實如法而一,得方一步。

〔一六〕今有勾八步,股十五步。問勾中容圓,徑幾何?

答曰:六步。
術曰:八步為勾,十五步為股,為之求弦。三位並之為法,以勾乘股,倍之為實。實如法得徑一步。

〔一七〕今有邑方二百步,各中開門。出東門十五步有木。問出南門幾何步而見木?

答曰:六百六十六步、太半步。
術曰:出東門步數為法,半邑方自乘為實,實如法得一步。

〔一八〕今有邑,東西七里,南北九里,各中開門。出東門十五里有木。問出南門幾何步而見木?

答曰:三百一十五步。
術曰:東門南至隅步數,以乘南門東至隅步數為實。以木去門步數為法。實如法而一。

〔一九〕今有邑方不知大小,各中開門。出北門三十步有木,出西門七百五十步見木。問邑方幾何?

答曰:一里。
術曰:令兩出門步數相乘,因而四之,為實。開方除之,即得邑方。

〔二0〕今有邑方不知大小,各中開門。出北門二十步有木。出南門十四步,折而西行一千七百七十五步見木。問邑方幾何?

答曰:二百五十步。
術曰:以出北門步數乘西行步數,倍之,為實。並出南門步數為從法,開方除之,即邑方。

〔二一〕今有邑方十里,各中開門。甲乙俱從邑中央而出。乙東出;甲南出,出門不知步數,邪向東北磨邑,適與乙會。率甲行五,乙行三。問甲、乙行各幾何?

答曰:甲出南門八百步,邪東北行四千八百八十七步半,及乙。乙東行四千三百一十二步半。
術曰:令五自乘,三亦自乘,並而半之,為邪行率。邪行率減於五自乘者,餘,為南行率。以三乘五,為乙東行率。置邑方半之,以南行率乘之,如東行率而一,即得出南門步數。以增邑方半,即南行。置南行步求弦者,以邪行率乘之,求東者以東行率乘之,各自為實。實如南行率得一步。

〔二二〕有木去人不知遠近。立四表,相去各一丈,令左兩表與所望參相直。從後右表望之,入前右表三寸。問木去人幾何?

答曰:三十三丈三尺三寸、少半寸。
術曰:令一丈自乘為實,以三寸為法,實如法而一。

〔二三〕有山居木西,不知其高。山去木五十三里,木高九丈五尺。人立木東三里,望木末適與山峰斜平。人目高七尺。問山高幾何?

答曰:一百六十四丈九尺六寸、太半寸。
術曰:置木高減人目高七尺,餘,以乘五十三里為實。以人去木三里為法。實如法而一,所得,加木高即山高。

〔二四〕今有井徑五尺,不知其深。立五尺木於井上,從木末望水岸,入徑四寸。問井深幾何?

答曰:五丈七尺五寸。
術曰:置井徑五尺,以入徑四寸減之,餘,以乘立木五尺為實。以入徑四寸為法。實如法得一寸



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